矩阵与数值计算（16）——Gauss型求积公式
一、问题引入
Gauss积分与插值积分对比
蓝色线与 x=x_0,x=x_1,y=0 三条线围成的区域是基于梯型求积公式计算得到的结果，我们很容易发现，蓝线与黑线之间的部分区域并没有被计算到积分值内，存在的误差有点大，我们接受不了这样的误差。如果能够将 x_0,x_1 分别向内移动一点距离，我们就会得到外框红线表示的梯型求积公式，这对于黑色曲线的积分的拟合就理想的多，面积很近似。这就是Gauss求积公式的基本想法：不严格按照给定的x点，我们认为x点是动态的，同时积分系数A也是不确定的。
Newton-Cotes vs Gauss求积公式
这样带来的问题就比较有趣了，我们如果要对n+1点插值积分，那么显然存在的未知参数有2n+2个，因为插值点x与积分系数A都不确定，所以我们需要同时确定 x_0. x_n;\quad A_0. A_n 一共2n+2个系数。
根据之前代数精度的概念，如果有 2n+1 代数精度则求积公式对 f(x)=1,x. x^ 精确成立，那么我们就能得到 2n+2 个方程组，对其求解就能求出未知参数 x_0. x_n;\quad A_0. A_n 。
待定系数法求解Gauss积分
注：这里要注意一个很重要的结论，n+1个节点的求积公式，代数精度必小于2n+2
二、基于正交多项式零点的Gauss求积公式求解法
三、基于Lagrange、Hermite插值的Gauss求积公式
1.期权定价问题的有限元Richardson外推法 期权定价问题的有限元Richardson外推法 基于Lagrange插值的Gauss型求积公式
我们都知道Lagrange插值公式为 P_n(x) = \sum_^n\frac(x)>(x_k)>f(x_k) ，因此可以得到
2. 基于Hermite插值的Gauss型求积公式
实际上对于 A_k=\int_a^b\rho(x)(\frac(x)>(x_k)(x-x_k)>)^2dx 的积分值严格大于零。而且在实际计算中并不采用平方项求积分，过于复杂，我们直接使用 A_k=\int_a^b\rho(x)(\frac(x)>(x_k)(x-x_k)>)dx 这个公式进行求解。
四、一些重点结论与小trick
4. 如果积分区间从[-1,1]变为[a,b]时，求解两点Gauss求积公式，我们可以做一点转换，我们令 x 期权定价问题的有限元Richardson外推法 = \frac+\fract ，这样就可以对t求积分，并使得积分上下限变为[-1,1]直接使用3的结论即可。
Gauss-Chebyshev求积公式
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適讀人群 ：信息與計算、數學、應用數學、計算機應用及其他理工類相關專業學生、教師和科技工作者。
21世紀高等院校教材：數值計算方法(下冊)(第二版)》可作為高校數學係、計算機係教材；也可供工程技術人員參考。
第6章 期权定价问题的有限元Richardson外推法 解綫性方程組的迭代法
6.1 迭代法的基本理論
6.2 Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法
6.2.1 Jacobi迭代法
6.2.2 Gauss—Seidel迭代法
6.3 逐次超鬆弛迭代法（SOR方法）
6.3.1 SOR方法
6.3.2 SOR方法的收斂性
6.3.3 相容次序、性質A和最佳鬆弛因子
6.3.4 期权定价问题的有限元Richardson外推法 SOR方法的收斂速度
6.4 Chebyshev半迭代法
6.4.1 半迭代法
6.4.2 Chebyshev半迭代法
6.5 共軛斜量法
6.5.1 一般的共軛方嚮法
6.5.2 共軛斜量法
6.期权定价问题的有限元Richardson外推法 6 條件預優方法
6.7 迭代改善方法
習題6
第7章 綫性最小二乘問題
7.1 綫性方程組的最小二乘解
7.2 廣義逆矩陣
7.3 直交分解
7.3.1 Gram—Schmidt直交化方法
7.3.2 直交分解和綫性方程組的最小二乘解
7.3.3 Householder變換
7.3.4 列主元QR方法
7.4 奇異值分解
7.5 數據擬閤
7.6 綫性最小二乘問題
7.7 Chebyshev多項式在數據擬閤中的應用
習題7
第8章 矩陣特徵值問題
8.1 乘冪法
8.1.1 乘冪法
8.1.2 乘冪法的加速
8.1.3 求模數次大諸特徵值的降階法
8.1.4 逆迭代法（反乘冪法）
8.2 計算實對稱矩陣特徵值的同時迭代法
8.3 計算實對稱矩陣特徵值的Jacobi方法
8.3.1 Givens平麵鏇轉矩陣
8.3.2 Jacobi方法及其收斂性
8.期权定价问题的有限元Richardson外推法 3.3 實用的Jacobi方法及其計算步驟
8.4 Givens—Householder方法
8.4.1 實對稱矩陣的三對角化
8.4.2 計算實對稱三對角矩陣特徵值的二分法
8.5 QR方法
8.5.1 基本的QR方法
8.5.2 帶原點平移的QR方法
8.6 廣義特徵值問題
8.6.1 問題Ax=λBx的特徵值
8.6.2 問題ABx=λx的特徵值
8.6.3 問題Ax=λBx和ABx=λx的特徵嚮量
習題8
第9章 解非綫性方程組的數值方法
9.1 多變元微積分
9.1.1 Gateaux導數
9.1.2 Frechet導數
9.1.3 高階導數¨
9.1.4 Riemann積分
9.2 不動點迭代
9.3 Newton法
9.3.1 Newton法
9.3.2 修正Newton法
9.4 割綫法
9.5 擬Newton法
9.5.1 Broyden方法
9.5.2 DFP方法和BFS方法
9.6 下降算法
9.7 延拓法
習題9
第10章 常微分方程初值問題的數值解法
10.1 引言
10.期权定价问题的有限元Richardson外推法 期权定价问题的有限元Richardson外推法 2 離散變量法和離散誤差
10.3 單步法
10.3.1 Euler方法
10.3.2 改進的Euler方法
10.3.3 Runge—Kutta方法
10.3.4 自適應Runge—Kutta方法
10.3.5 Richardson外推法
10.4 單步法的相容性、收斂性和穩定性
10.4.1 相容性
10.4.2 收斂性
10.4.3 穩定性
10.5 多步法
10.5.1 綫性多步法
10.5.2 Adams方法
10.5.3 預測—校正方法
10.5.4 Hamming方法
10.5.5 隱式公式的迭代解法
10.6 差分方程簡介
10.6.1 綫性差分方程
10.6.2 常係數綫性差分方程
10.7 綫性多步法的相容性、收斂性和數值穩定性
10.7.1 相容性
10.7.2 收斂性
10.7.3 期权定价问题的有限元Richardson外推法 穩定性
10.7.4 絕對穩定性
10.8 常微分方程組和高階微分方程的數值解法
10.8.1 期权定价问题的有限元Richardson外推法 微分方程組
10.8.2 高階微分方程
習題10
第1章 常微分方程邊值問題的數值解法
11.1 差分方法
11.1.1 解綫性微分方程第一邊值問題的差分方法
11.1.2 解綫性微分方程第二、第三邊值問題的差分方法
11.1.3 非綫性問題
11.2 打靶法
習題11
第12章 函數逼近
12.1 函數逼近問題
12.2 最佳一緻逼近
12.3 最佳平方逼近
12.4 離散的Fourier變換
習題12
部分習題答案
參考文獻
信息與計算機專業係列教材：數值計算方法（第2版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2022
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第一章 基本知識
1.1 數值方法
1.2 誤差
1.2.1 誤差的來源
1.2.2 絕對誤差與相對誤差
1.2.3 四捨五入
1.2.4 有效數字
1.3 計算機浮點數及捨入誤差
1.3.1 計算機浮點數係統
1.3.2 用計算機浮點數錶示實數
1.3.3 浮點數的捨入誤差
1.3.4 浮點數算術運算的捨入誤差
1.4 嚮量範數與矩陣範數
1.4.1 嚮量範數和嚮量序列極限
1.4.2 矩陣範數和矩陣序列極限
1.4.3 從屬嚮量範數的矩陣範數
1.5 綫性方程組的性態，算法的穩定性
1.5.1 綫性方程組的性態
1.5.2 算法的穩定性
習題一
第二章 求解綫性方程組的數值方法
2.1 直接法
2.1.1 Gauss消去法與選主元Gauss消去法
2.1.2 矩陣三角分解
2.1.3 有關定理
2.1.4 求解正定方程組的Cholesky方法
2.1.5 求解三對角方程組的追趕法
2.2 迭代法
2.2.1 逐次逼近法
2.2.2 Jacobi迭代法
2.2.3 Gauss-Seidel迭代法
2.2.4 有關基本概念
2.2.5 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性
2.2.6 超鬆弛迭代法
2.3 共軛斜量法
2.3.1 共軛斜量法的基本思想
2.3.2 A-共軛嚮量組和嚮量組的A共軛化
2.3.3 共軛斜量法
2.3.4 求解非奇異方程組
習題二
第三章 非綫性方程（組）的數值解法
3.1 求非綫性方程實根的對分法
3.2 單個非綫性方程的迭代法
3.2.1 迭代法的一般原理
3.2.2 迭代法的幾何意義
3.2.3 收斂性分析
3.3 單個非綫性方程的Newton法
3.4 解非綫性方程組的數值方法
3.4.1 簡單迭代法
3.4.2 Newton法及其變形
習題三
第四章 最小二乘方法
4.1 麯綫擬閤問題
4.1.1 一個簡單的麯綫擬閤例子
4.1.2 麯綫擬閤問題
4.2 最小二乘方法
4.2.1 正交性的有關性質
4.2.2 矩陣的QR分解
4.2.3 最小二乘解的存在唯一性
4.2.4 Householder矩陣與矩陣的正交三角化
4.2.5 求最小二乘解的方法
4.3 奇異值分解與廣義逆矩陣
4.3.1 奇異值分解
4.3.2 廣義逆矩陣
4.3.3 用奇異值分解求最小二乘解
習題四
第五章 矩陣特徵值問題的數值方法
5.1 特徵值與特徵嚮量
5.2 Hermite矩陣特徵值問題
5.2.1 Hermite矩陣的有關性質
5.2.2 極值定理
5.2.3 Hermite矩陣特徵值的性態
5.3 矩陣的正交相似約化
5.3.1 平麵鏇轉矩陣與實對稱矩陣的相似約化
5.3.2 相似約化為上Hessenberg矩陣
5.4 Jacobi方法
5.4.1 用Jacobi方法計算矩陣特徵值
5.4.2 用Jacobi方法計算矩陣特徵嚮量
5.5 QR方法
5.5.1 兩個基本定理
5.5.2 QR算法
5.5.3 帶原點位移的QR算法
5.6 乘冪法與反冪法
5.6.1 求按模最大特徵值和特徵嚮量的乘冪法
5.6.2 求按模最小特徵值及相應特徵嚮量的反冪法
5.6.3 求近似特徵值的特徵嚮量的反冪法
習題五
第六章 插值法
6.1 插值法和插值多項式的存在唯一性
6.1.1 插值法
6.1.2 插值多項式的存在唯一性
6.2 Lagrange插值
6.3 Newton插值
6.3.1 逐次綫性插值
6.3.2 差商與Newton插值公式
6.3.3 差分與等距節點的Newton插值公式
6.4 Hermite插值
6.4.1 Herrnite插值問題解的存在唯一性
6.4.2 Hermite插值的誤差估計
6.5 樣條函數插值
6.5.1 分段綫性插值
6.5.2 樣條函數與三次樣條插值
6.5.3 k次B一樣條
習題六
第七章 函數逼近
7.1 正交多項式及其應用
7.1.1 常用的正交多項式及其性質
7.1.2 Chelayshev多項式及其應用
7.2 C[a，b]空間中的最佳一緻逼近
7.2.1 最佳逼近元的存在性
7.2.2 最佳一緻逼近元的充要條件
7.2.3 最佳一緻逼近元的唯一性
7.2.4 關於最佳一緻逼近元的求解
7.3 內積空間中的最佳平方逼近
7.3.1 內積空間
7.3.2 期权定价问题的有限元Richardson外推法 內積空間中的最佳平方逼近
7.3.3 幾種情形的最佳平方逼近
7.4 快速Fourier變換（FFT）
7.4.1 周期函數的最佳平方逼近
7.4.2 離散Fourier變換（DFT）
7.4.3 快速Fourier變換（FFT）
習題七
第八章 數值積分
8.1 數值求積公式及其代數精確度
8.2 插值型求積公式
8.2.1 Newton-Cotes求積公式
8.2.2 復化型求積公式
8.2.3 數值求積中的一種誤差估計方法
8.3 Romberg積分方法
8.3.1 Richardson外推法
8.3.2 Romberg求積方法
8.4 Gauss型求積公式
8.4.1 Gauss型求積公式
8.4.2 Gauss型求積公式的構造
習題八
第九章 常微分方程的數值方法
9.1 初值問題的數值方法
9.1.1 基本概念
9.1.2 Euler方法和改進的Euler方法
9.1.3 Runge-Kutta方法
9.1.4 綫性多步法
9.1.5 收斂性和穩定性
9.1.期权定价问题的有限元Richardson外推法 期权定价问题的有限元Richardson外推法 期权定价问题的有限元Richardson外推法 6 微分方程組和高階方程
9.1.7 剛性方程組
9.2 邊值問題的數值方法
9.2.1 基本概念
9.2.2 打靶法
9.2.3 有限差分法
習題九
參考文獻
https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation
陶文銓《數值傳熱學 第二版》p.214
非線性迭代的亞鬆弛將本層次計算結果與上一層次結果的差值作適當縮減，以避免由於差值過大而引起非線性迭代過程的發散。陶文銓《數值傳熱學 第二版》p.271-272
代數方程組求解的鬆弛迭代法第n輪迭代中節點k的值表示為其中α稱為鬆弛因子。當α=1時，該值就是Jacobi迭代或Gauss-Seidel迭代的解。當α&>1時，為逐次超鬆弛迭代（SOR，successive over relaxation）。當相鄰兩輪的迭代值之差永遠具有相同的正負號（如常物性導熱問題所形成的離散方程）時，採用超鬆弛迭代可以加快收斂過程。當α&